Andregradslikninger (1T)#

Relevante kompetansemål

  • formulere og løse problemer ved hjelp av algoritmisk tenkning, ulike problemløsingsstrategier, digitale verktøy og programmering

  • identifisere variable størrelser i ulike situasjoner, sette opp formler og utforske disse ved hjelp av digitale verktøy

Andregradslikninger#

Vi kan bruke programmering til å utforske ulike formler og sammenhenger. Når elevene må tilnærme seg et problem på flere måter, legger vi til rette for dybdelæring. Her skal vi se på andregradslikninger og ulike premisser for løsninger av slike likninger. Alle andregradslikninger kan omformes på den generelle formen \(ax^2 + bx + c = 0\), som kan løses med andregradsformelen:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Før en går i gang med å programmere andregradsformelen, kan det være fint å for eksempel la elevene diskutere litt rundt denne formelen, f.eks. med utgangspunkt følgende oppgaver:

  • Hva er sammenhengen mellom å løse likningen \(x^2 + 1 = 2x\) og finne nullpunktene til funksjonen \(f(x) = x^2 - 2x + 1\)?

  • Gjennomgå linje for linje og forklar hvordan programmet nedenfor fungerer. Bruk programmet nedenfor til å visualisere løsningen til følgende andregradslikninger:

  1. \(x^2 - 4 = 0\)

  2. \(-4x + 4 = - x^2\)

  3. \(2x^2 = 2x - 4\)

  • Hva er hovedforskjellen i løsningene av de tre likningene nedenfor?

  • Uttrykket under rota i andregradsformelen (\(b^2 - 4ac\)) kaller vi diskriminanten. Hvilke verdier har diskriminanten i de tre likningene ovenfor? Kan du bruke dette til å si noe generelt om hva som bestemmer antallet løsninger vi kan få når vi løser en andregradslikning?

Du kan velge ulike løp i resten av oppgava, alt ettersom hvor komfortabel du er med å programmere. Oppgava viser ulike muligheter for å differensiere med programmering.

Vi skal studere et program som løser andregradslikninger. Klikk på de ulike fanene for å gjøre oppgava tilpasset din kompetanse i programmering. Dersom du for eksempel forstår programmering godt, kan du prøve å lage programmet helt fra scratch. Da klikker du deg inn på nivå 5. Du kan starte på det nivået som passer deg. Prøv også gjerne de andre nivåene etter hvert.

  • Nivå 1: Forklar og modifiser

  • Nivå 2: Programmeringspuslespill

  • Nivå 3: Feilsøk

  • Nivå 4: Fyll inn

  • Nivå 5: Lag programmet

  1. Forklar hva programmet nedenfor gjør før du kjører programmet.

  2. Kjør deretter programmet og forklar hva det kan fortelle deg om andregradslikninger.

Løs dette programmeringspuslespillet. Programmet skal skrive ut antallet løsninger i en andregradslikning. Når du er ferdig, kan du prøve dette puslespillet, som er en litt mer avansert variant. Forklar forskjellen på programmene.

Programmetet nedenfor skal skrive ut løsningene til en andregradslikning, men fungerer ikke helt som det skal. Rett opp feilene og vis at likningen \(x^2 - 4 = 0\) har løsningene \(x_1 = 2\) og \(x_2 = -2\).

Programmet nedenfor skal skrive ut løsningene til en andregradslikning. Fyll inn det som mangler og test programmet for ulike likninger.

Lag et program som løser andregradslikninger på formen \(ax^2 + bx + c\) gitt koeffisientene a, b og c. Koeffisientene kan være direkte gitt i variabler, som i programmet nedenfor, eller de kan bli gitt som input fra brukeren.

Utvid programmet slik at det også tar hensyn til om \(a = 0\).

Løsningsforslag

Husk at dette er et løsningsforslag - oppgava kan løses på veldig mange måter!

a = float(input("a: "))
b = float(input("b: "))
c = float(input("c: "))

diskriminant = b**2 - 4*a*c

if a == 0:
    x = -c/b
    print("Likningen er en førstegradslikning og har løsningen x = ", x)
else:
    if diskriminant > 0:
        x1 = (-b + diskriminant**0.5)/(2*a)
        x2 = (-b - diskriminant**0.5)/(2*a)
        print("Likningen har to løsninger: x1 = ", round(x1,2), "og x2 =", round(x2,2))
    elif diskriminant < 0:
        print("Likningen har ingen reelle løsninger.")
    elif diskriminant == 0:
        x = -b/(2*a)
        print("Likningen har én løsning: x = ", round(x,2))