https://trinket.io/embed/python3/2e21ec459f

Relevante kompetansemål

• forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer (R1)

• bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter (R1)

• analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon (R1)

Oppgave

1. Hva gjør programmet nedenfor? Bruk programmet til å forklare forskjellen på analytisk og numerisk derivasjon.

2. Kjør programmet for ulike verdier av dx (eller lag en løkke som repeterer derivasjonen for ulike dx). For hvilke verdier av dx får du et brukbart resultat? Hva skjer nå dx blir for stor, og hva skjer når den blir for liten?

3. I tilnærmingen til den deriverte ovenfor tar vi utgangspunkt i følgende definisjon:

\[f'(x) = \lim_{dx\rightarrow 0} \frac{f(x+dx) - f(x)}{dx}\]

Den deriverte representerer stigningen til en tangent igjennom punktet \((x, f(x)\). Dette tilnærmer vi ved å se på stigningen til sekanten mellom to punkter \((x, f(x))\) og \((x + dx, f(x+dx))\) dersom dx er et veldig lite tall:

\[f'(x) \approx \frac{f(x+dx) - f(x)}{dx}\]

Sagt på en annen måte: Vi tilnærmer grenseverdien med et lite tall dx slik at den gjennomsnittlige veksten blir tilnærmet lik den momentane veksten.

Her tar vi altså forskjellen mellom neste funksjonsverdi, \(f(x+dx)\), og nåværende funksjonsverdi, \(f(x)\). En annen tilnærming til den deriverte baserer seg på at vi heller bruker midtpunktet mellom neste funksjonsverdi, \(f(x+dx)\), og forrige funksjonsverdi, \(f(x-dx)\). Dette kaller vi en _midtpunktstilnærming av den deriverte:

\[f'(x) \approx \frac{f(x+dx) - f(x-dx)}{2dx}\]

Implementer midtpunktstilnærmingen til den deriverte som en Python-funksjon og sammenlikn resultatene du får med resultatene du fikk med den første tilnærmingen.

4. Derivasjon handler om å finne momentan endring. Når vi samler inn data fra eksperimenter eller observasjoner, kan vi faktisk derivere disse dataene ved å finne endringen mellom alle nærliggende punkter. Dette kan vi ikke gjøre analytisk med derivasjonsregler, siden vi ikke har en kontinuerlig funksjon å derivere. Se på programmet nedenfor og forklar hva det gjør uten å kjøre programmet. Husk at den deriverte av posisjon representerer endringen i posisjon, med andre ord farten. Prøv å skissere grafen som programmet vil tegne. Kjør så programmet og se om det stemmer med det du trodde.

5. Bruk programmet ovenfor til å derivere posisjonsdataene fra en tur med heisen. Tolk resultatene.